Equations différentielles [pdf]

Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations différentielles suivantes :

Soit $\alpha \in \mathbb{R}.$ Résoudre sur $I={\mathbb{R}}^{+\ast }$ ou ${\mathbb{R}}^{-\ast }$ l'équation différentielle

$x{y}^{\text{'}}-\alpha y=0$

Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations différentielles suivantes :

Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles précisés

a) $(1+{\text{e}}^x)y^{\text{'}}+{\text{e}}^{x}y=(1+{\text{e}}^x)$ sur $\mathbb{R}$

b) $({\text{e}}^x-1)y^{\text{'}}+{\text{e}}^{x}y=1$ sur ${\mathbb{R}}^{+\ast }$ et ${\mathbb{R}}^{-\ast },$

c) $x(1+{\ln }^2(x))y^{\text{'}}+2\ln (x)y=1$ sur ${\mathbb{R}}^{+\ast }$

Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles précisés

a) $\sqrt{1+x^2}{y}^{\text{'}}-y=1$ sur $\mathbb{R}$

c) $\sqrt{1-x^2}{y}^{\text{'}}+y=1$ sur $\left]-\mathrm{1,1}\right[$

g) $\sqrt{x^2-1}{y}^{\text{'}}+y=1$ sur $\left]\mathrm{1,}+\infty \right[.$

Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles précisés

a) $(2+\cos x)y^{\text{'}}+\sin (x)y=(2+\cos x)\sin x$ sur $\mathbb{R}$

b) $(1+{\cos }^{2}x)y^{\text{'}}-\sin 2x.y=\cos x$ sur $\mathbb{R}$

c) $y^{\text{'}}\sin x-y\cos x+1=0$ sur $\left]\mathrm{0,}\pi \right[,$

d) ${(\sin x)}^3{y}^{\text{'}}=2(\cos x)y$ sur $\left]\mathrm{0,}\pi \right[.$

Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles précisés

a) $\mathrm{ch}x.y^{\text{'}}-\mathrm{sh}x.y={\mathrm{sh}}^{3}x$ sur $\mathbb{R}$

b) $y^{\text{'}}-\frac{\mathrm{sh}x}{1+\mathrm{ch}x}y=\mathrm{sh}x$ sur $\mathbb{R}$

c) $\mathrm{sh}(x)y^{\text{'}}-\mathrm{ch}(x)y=1$ sur ${\mathbb{R}}^{+\ast }$ et ${\mathbb{R}}^{-\ast },$

Former une équation différentielle linéaire d'ordre 1 dont les fonctions

$f(x)=\frac{C+x}{1+x^2}$

seraient les solutions.

Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations différentielles suivantes :

a) $y^{\text{'}\text{'}}+2y^{\text{'}}+2y=2x$

b) $y^{\text{'}\text{'}}+y=x^2+1$

c) $y^{\text{'}\text{'}}-3y^{\text{'}}+2y=2x^2$

Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations différentielles suivantes :

a) $y^{\text{'}\text{'}}+2y^{\text{'}}+y=x{\text{e}}^x$

b) $y^{\text{'}\text{'}}+y^{\text{'}}-2y=x{\text{e}}^x$

c) $y^{\text{'}\text{'}}+2y^{\text{'}}+2y=(x+1){\text{e}}^{-x}$

Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations différentielles suivantes :

a) $y^{\text{'}\text{'}}+y=\mathrm{sh}x$

b) $y^{\text{'}\text{'}}-3y^{\text{'}}+2y=x\mathrm{ch}x$

c) $y^{\text{'}\text{'}}-2y^{\text{'}}+y=2\mathrm{ch}x$

Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations différentielles suivantes :

a) $y^{\text{'}\text{'}}+2y^{\text{'}}+2y=\sin x$

b) $y^{\text{'}\text{'}}+y=x\sin x$

c) $y^{\text{'}\text{'}}+y=2{\cos }^{2}x$

Soient $\omega$ et ${\omega }_0$ deux réels strictement positifs et distincts.
Trouver les solutions de l'équation différentielle

$y^{\text{'}\text{'}}+{\omega }^{2}y=\cos ({\omega }_{0}x)$

vérifiant les conditions initiales $y(0)=1$ et $y^{\text{'}}(0)=0.$

Déterminer les couples $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$ tels que toute solution de $y^{\text{'}\text{'}}+a{y}^{\text{'}}+by=0$ soit bornée sur ${\mathbb{R}}^{+}.$

Soit $p:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{+}$ une fonction continue non nulle.
On se propose de montrer que les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation $y^{\text{'}\text{'}}+p(x)y=0$ s'annulent.
Pour cela, on raisonne par l'absurde et on suppose que $f$ est une solution ne s'annulant pas.

a) Justifier que $f$ est de signe constant.
Quitte à considérer $-f$ au lieu de $f,$ on peut supposer $\forall x\in \mathbb{R},f(x)>0.$

b) Etudier le signe de $f^{\text{'}\text{'}}$.

c) Soit $a\in \mathbb{R}$ quelconque. Quelle est l'équation de la tangente à $f$ en $a$ ?

d) Montrer que le graphe de $f$ est en dessous de sa tangente en $a.$

e) En déduire que $f^{\text{'}}(a)=0$ et conclure.

Déterminer les fonctions $f:\left[\mathrm{0,1}\right]\to \mathbb{R}$ dérivables telles que

$f^{\text{'}}(x)+f(x)=f(0)+f(1)$

Déterminer les fonctions $f:\left[\mathrm{0,1}\right]\to \mathbb{R}$ dérivables telles que

$\forall x\in \left[\mathrm{0,1}\right],f^{\text{'}}(x)+f(x)+{\displaystyle {\int }_0^{1}f(t)\text{d}\text{}t}=0$

Déterminer toutes les fonctions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ dérivables telles que

$\forall s,t\in \mathbb{R},f(s+t)=f(s)f(t)$

Trouver toutes les applications $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dérivables telles que

$\forall x\in \mathbb{R},f^{\text{'}}(x)+f(-x)={\text{e}}^x$

Déterminer les fonctions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ deux fois dérivables telles que

$\forall x,y\in \mathbb{R},f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$ et $f(0)=1$

Trouver toutes les applications $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ deux fois dérivables telles que

$\forall x\in \mathbb{R},f^{\text{'}\text{'}}(x)+f(-x)=x$

Déterminer les fonctions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continues vérifiant

$\forall x\in \mathbb{R},f(x)={\displaystyle {\int }_0^{x}tf(t)d\text{}t+1}$

Soient $f$ une fonction réelle continue sur $\left[\mathrm{0,1}\right]$ et $\lambda$ un réel.
Trouver $u$ fonction réelle continue sur $\left[\mathrm{0,1}\right]$ telle que

$u(x)=\lambda {\displaystyle {\int }_0^{x}u(t)d\text{}t}+f(x)$

Trouver les fonctions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continues telles que pour tout $x$ réel

$f(x)-2{\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)\cos (x-t)d\text{}t}=1$

Déterminer $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que

$f^{\text{'}}(x)=f(2-x)$

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation

$(1+x^2)y^{\text{'}\text{'}}+2x{y}^{\text{'}}=0$

Résoudre sur ${\mathbb{R}}^{+\ast }$ l'équation

$x^2{y}^{\text{'}\text{'}}+4x{y}^{\text{'}}-(x^2-2)y=0$

en posant $z=x^{2}y.$

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation

$E:(1+{\text{e}}^x)y^{\text{'}\text{'}}+2{\text{e}}^x{y}^{\text{'}}+(2{\text{e}}^x+1)y=x{\text{e}}^x$

en posant $z(x)=(1+{\text{e}}^x)y(x).$

Résoudre l'équation différentielle

${(1+{\text{e}}^x)}^2{y}^{\text{'}\text{'}}-2{\text{e}}^x(1+{\text{e}}^x)y^{\text{'}}-(3{\text{e}}^x+1)y=0$

en introduisant

$z(x)=\frac{y(x)}{1+{\text{e}}^x}$

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation

$y^{\text{'}\text{'}}+4x{y}^{\text{'}}+(3+4x^2)y=0$

en introduisant la fonction $z(x)={\text{e}}^{x^2}y(x).$

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle

$E:x{y}^{\text{'}\text{'}}-(1+x)y^{\text{'}}+y=1$

en posant $z=y^{\text{'}}-y.$

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation

$(1+{\text{e}}^x)y^{\text{'}\text{'}}+y^{\text{'}}-{\text{e}}^{x}y=0$

en introduisant la fonction $z=y^{\text{'}}+y.$

Résoudre sur $\left]\mathrm{0,}+\infty \right[$ l'équation

$x^2{y}^{\text{'}\text{'}}-2y+\frac{3}{x}=0$

en introduisant la fonction $z(x)=x{y}^{\text{'}}(x)+y(x).$

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation

${(1+x^2)}^2{y}^{\text{'}\text{'}}+2(x-1)(1+x^2)y^{\text{'}}+y=0$

en procédant au changement de variable $t=\arctan x.$

Résoudre sur $\mathbb{R}$

${(x^2+1)}^2{y}^{\text{'}\text{'}}+2x(x^2+1)y^{\text{'}}+y=0$

via $t=\arctan x.$

Résoudre sur $\left]-\mathrm{1,1}\right[$ l'équation

$(1-x^2)y^{\text{'}\text{'}}-x{y}^{\text{'}}+4y=\arccos x$

en procédant au changement de variable $x=\cos (t).$

Résoudre sur ${\mathbb{R}}^{+\ast }$ l'équation

$x^2{y}^{\text{'}\text{'}}+x{y}^{\text{'}}+y=0$

en posant $x=e^t.$

Résoudre sur ${\mathbb{R}}^{+\ast }$ les équations suivantes via le changement de variable $t=\ln x.$

Résoudre

$(1+x^2)y^{\text{'}\text{'}}+x{y}^{\text{'}}-4y=0$

en posant $x=\mathrm{sh}t.$